segunda-feira, 11 de Maio de 2009

Método de Pitágoras para Calcular a Potência de Grau 2


novembro 19th, 2006

A potenciação  fornece um jeito  prático e rápido para calcularmos a potência de grau 2 de um número inteiro, comumente conhecida como o quadrado desse número.

O meio em questão, corresponde ao produto do número por ele mesmo, ou seja:

52 = 5 x 5 = 25

Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo, inventou uma regra diferente para obter o resultado da potência de grau 2 de um número, que consiste em:

O quadrado de um número inteiro n é igual a soma dos n primeiros números inteiros ímpares.

Vemos que a afirmação é verdadeira, através do uso direto do enunciado. Vejam:

  • 12 = 1 (n = 1)
  • 22 = 1 + 3 = 2 x 2 = 4 (n = 2)
  • 52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 x 5 = 25 (n = 5)
  • 72 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 7 x 7 = 49 (n = 7)

E como saber que a afirmação é válida para o número 5.227, por exemplo? No “braço” é extremamente trabalhoso comprovar, pois teríamos que somar os primeiros 5.227 números inteiros ímpares e, após, verificar que o resultado é igual ao quadrado de 5.227.

No entanto, se observarmos com um pouquinho mais de atenção veremos que a sequência formada pelos primeiros n números ímpares:

(1, 3, 5, 7, …., an)

é uma Progressão Aritmética (PA) de razão r = 2, onde an representa o enésimo termo ou o enésimo número ímpar.

Desse fato é suficiente, agora, utilizarmos das propriedades de uma PA. Mais especificamente das fórmulas do termo geral e da soma dos termos de uma PA finita, para demonstrarmos que Pitágoras esta com toda a razão (não a da PA).

Primeiro vamos determinar o valor de an em função de n:

an = a1 + (n - 1)r = 1 + (n - 1)2 = 2n - 1

Para concluirmos, mostrando que a soma Sn é igual a n2:

Sn = [(a1 + an)n]/2 = [(1 + 2n - 1)]n/2 = 2n2/2 = n2

Pronto! não é que o homem tinha razão?

http://www.nghorta.com/2006/11/19/curiosidade-matematica-5-metodo-de-pitagoras-para-calcular-a-potencia-de-grau-2-de-um-numero/?cp=all

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