domingo, 24 de maio de 2009

quinta-feira, 21 de maio de 2009

outras propriedades

Expoentes irracionais

expoentes próximos geram resultados próximos , pode-se definir expoentes irracionais:

x^\pi \approx x^{3.14159}\,

Expoentes imaginários e complexos

considera-se que:

e^{i.x} = cos (x) + i \cdot sen (x)

usando logaritmos, podemos definir para qualquer a real e z complexo, z = x + i y:

a^z = (e^{\log a})^z = e^{(z \cdot \log a)} = a^x \ (cos(y \ \log a) + i \cdot sen(y \ \log a))\,



segunda-feira, 18 de maio de 2009

Material Dourado

Mateiral Dourado ou Montessori possui vários cubinhos, barras, placas e cubão:


o cubo é formado por 10 placas, que a placa é formada por 10 barras e representam centena e a barra representa dezena e um cubinho é a unidade

Veja como representamos, com ele, o número 265:

Este material é feito em madeira, costuma ser comercializado com o nome de material dourado. Você pode construir um material semelhante, usando cartolina.

Embora seja possível representar o milhar, vamos evitá-lo trabalhando com números menores.

Damos a seguir sugestões para o uso do Material Dourado Montessori.

O professor saberá em que série cada atividade poderá ser aplicada com melhor rendimento. Várias das atividades podem ser aplicadas em mais de uma série, bastando, para isso, pequenas modificações.

Quadrados e cubos

Elevar potência 2 chama-se elevar ao quadrado. Por exemplo, 32 = 9.

Os números 1, 4, 9, 16, 25 etc. também são conhecidos como quadrados perfeitos ou números quadrados.
podemos representar todos esses números em grades formando quadrados.

Elevar à terceira potência chama-se também elevar ao cubo.

Os cubos ou números cúbicos são os que resultam de se elevarem números naturais à potência 3, pois nos remetem ao volume de um cubo. São cubos 1, 8, 27, 64, 125 etc., porque são o resultado de 13, 23, 33, 43, 53.

veja mais em: http://www.klickeducacao.com.br/2006/materia/20/display/0,5912,POR-20-86-956-,00.html


Potenciação de números racionais

O expoente é um número maior ou igual a 11:

* se o expoente é um par, a potência é positiva
* se o expoente é um número impar, o sinal de potência é o mesmo da base
* se o expoente é 1, a potência é igual à própia base

O expoente é igual a zero:

*qualquer número diferente de zero e dividido por ele mesmo dá 1
*qualquer número elevado a zero é 1

O expoente é um número inteiro positivo:

Se a é número real e n é inteiro e positivo, a expressão an representa o produto de n fatores todos iguais a "a".

Na expressão an, o número real a é denominado base e n é denominado expoente

Exemplos

23=2 . 2 . 2 = 8

(-4)2 = (-4) . (-4) = 16

(-5)3 = (-5) .(-5) . (-5) = -125

Para n=1, define=se a­­1 = a

101 = 10

Potências de base 10 com expoente inteiro negativo

Potências de base 10 resultam da multiplicação de vários números 10.portanto,sempre equivalerão à unidade seguida de tantos zeros quantos forem os indicados pelo expoente natural.








Potência de base 10

Um número multiplicado por uma potência de base 10 positiva, indica que iremos "aumentar" o número de zeros à direita ou "movimentar" para direita a vírgula tantas casas quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns exemplos:

54 x 105=5400000
Acrescentamos 5 zeros à direita do 54
2050 x 102=205000
Acrescentamos 2 zeros à direita do 2050
0,00021 x 104=2,1
"Movimentamos" a vírgula 4 casas para direita
0,000032 x 103=0,032
"Movimentamos" a vírgula 3 casas para direita

Quando temos um número multiplicado por uma potência de base 10 negativa, indica que iremos "diminuir" o número de zeros à direita ou "movimentar" a vírgula para esquerda tantas casas quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns exemplos:

54 x 10-5=0,00054
"Movimentamos" a vírgula 5 casas para esquerda
2050 x 10-2=20,5
"Movimentamos" a vírgula 2 casas para esquerda. Lembrando que 20,5 = 20,50
0,00021 x 10-4=0,000000021
"Movimentamos" a vírgula 4 casas para esquerda
0,000032 x 10-3=0,000000032
"Movimentamos" a vírgula 3 casas para esquerda
32500000 x 10-4=3250
"Diminuimos" 4 zeros que estavam à direita


Fonte:http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/algebra_basica/algebra_basica_03_potencia_base_10.php

exercicio resolvido

O número de elementos distintos da sequência 24, 42, 4-2 (-4)2, (-2)4, (-2)-4 é:

a) 8
b) 2
c) 7
d) 9

Solução:

Para determinar o número de elementos distintos é suficiente que calculemos cada um deles. Assim temos:

  • 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
  • 42 = 4 x 4 = 16
  • 4-2 = 1/ 42 = 1/16 (uso da propriedade e) do artigo sobre potenciação)
  • (-4)2 = (-4) x (-4) = 16 (potência par de base negativa tem como resultado um número positivo)
  • (-2)4 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = 16 (idem)
  • (-2)-4 = 1/(-2)4 = 1/16 (uso da propriedade e) do artigo sobre potenciação)
Portanto, se conclui que existem dois elementos distintos (16 e 1/16) e a resposta correta é a b).

quinta-feira, 14 de maio de 2009

Número mágico

1089 é conhecido como o número mágico. Veja porque:

Escolha qualquer número de três algarismos distintos: por exemplo, 875.
Agora escreva este número de trás para frente e subtraia o menor do maior:
875 - 578 = 297

Agora inverta também esse resultado e faça a soma: 297 + 792 = 1089 (o número mágico)

Potênciação

A potência é uma ferramenta útil para calcúlos com números grandes porque facilita a simplificação graças as propriedades que ela tem.
Para multiplicas potência de mesma base conservam-se as bases e somam os expoentes.

33 x 5 = 38



Expoente negativo




segunda-feira, 11 de maio de 2009

Método de Pitágoras para Calcular a Potência de Grau 2


novembro 19th, 2006

A potenciação  fornece um jeito  prático e rápido para calcularmos a potência de grau 2 de um número inteiro, comumente conhecida como o quadrado desse número.

O meio em questão, corresponde ao produto do número por ele mesmo, ou seja:

52 = 5 x 5 = 25

Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo, inventou uma regra diferente para obter o resultado da potência de grau 2 de um número, que consiste em:

O quadrado de um número inteiro n é igual a soma dos n primeiros números inteiros ímpares.

Vemos que a afirmação é verdadeira, através do uso direto do enunciado. Vejam:

  • 12 = 1 (n = 1)
  • 22 = 1 + 3 = 2 x 2 = 4 (n = 2)
  • 52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 x 5 = 25 (n = 5)
  • 72 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 7 x 7 = 49 (n = 7)

E como saber que a afirmação é válida para o número 5.227, por exemplo? No “braço” é extremamente trabalhoso comprovar, pois teríamos que somar os primeiros 5.227 números inteiros ímpares e, após, verificar que o resultado é igual ao quadrado de 5.227.

No entanto, se observarmos com um pouquinho mais de atenção veremos que a sequência formada pelos primeiros n números ímpares:

(1, 3, 5, 7, …., an)

é uma Progressão Aritmética (PA) de razão r = 2, onde an representa o enésimo termo ou o enésimo número ímpar.

Desse fato é suficiente, agora, utilizarmos das propriedades de uma PA. Mais especificamente das fórmulas do termo geral e da soma dos termos de uma PA finita, para demonstrarmos que Pitágoras esta com toda a razão (não a da PA).

Primeiro vamos determinar o valor de an em função de n:

an = a1 + (n - 1)r = 1 + (n - 1)2 = 2n - 1

Para concluirmos, mostrando que a soma Sn é igual a n2:

Sn = [(a1 + an)n]/2 = [(1 + 2n - 1)]n/2 = 2n2/2 = n2

Pronto! não é que o homem tinha razão?

http://www.nghorta.com/2006/11/19/curiosidade-matematica-5-metodo-de-pitagoras-para-calcular-a-potencia-de-grau-2-de-um-numero/?cp=all

A origem do zero


ORIGEM DO ZERO

A invenção do zero é atribuída aos hindus, embora o zero seja atribuido a varios sistemas de enumeração tão antigos quanto aos hindus, se não mais.

O sistema sexagesimal babilônico usado nos textos matemáticos e astronômicos era essencialmente um sistema posicional, ainda que o conceito de zero não estivesse plenamente desenvolvido. Muitas das tábuas babilônicas indicam apenas um espaço entre grupos de símbolos quando uma potência particular de 60 não era necessária, de maneira que as potências exatas de 60 envolvidas devem ser determinadas, em parte, pelo contexto. Nas tábuas babilônicas mais tardias (aquelas dos últimos três séculos a.C.) usava-se um símbolo para indicar uma potência ausente, mas isto só ocorria no interior de um grupo numérico e não no final. Quando os gregos prosseguiram o desenvolvimento de tabelas astronômicas, escolheram explicitamente o sistema sexagesimal babilônico para expressar suas frações, e não o sistema egípcio de frações unitárias. A subdivisão repetida de uma parte em 60 partes menores precisava que às vezes “nem uma parte” de uma unidade fosse envolvida, de modo que as tabelas de Ptolomeu no Almagesto (c.150 d.C.) incluem o símbolo ou 0 para indicar isto. Bem mais tarde, aproximadamente no ano 500, textos gregos usavam o ômicron, que é a primeira letra palavra grega oudem (“nada”). Anteriormente, o ômicron, restringia a representar o número 70, seu valor no arranjo alfabético regular.

Talvez o uso sistemático mais antigo de um símbolo para zero num sistema de valor relativo se encontre na matemática dos maias das Américas Central e do Sul. O símbolo maia do zero era usado para indicar a ausência de quaisquer unidades das várias ordens do sistema de base vinte modificado. Esse sistema era muito mais usado, provavelmente, para registrar o tempo em calendários do que para propósitos computacionais.

É possível que o mais antigo símbolo hindu para zero tenha sido o ponto negrito, que aparece no manuscrito Bakhshali, cujo conteúdo talvez remonte do século III ou IV d.C., embora alguns historiadores o localize até no século XII. Qualquer associação do pequeno círculo dos hindus, mais comuns, com o símbolo usado pelos gregos seria apenas uma conjectura.

Como a mais antiga forma do símbolo hindu era comumente usado em inscrições e manuscritos para assinalar um espaço em branco, era chamado sunya, significando “lacuna” ou “vazio”. Essa palavra entrou para o árabe como sifr, que significa “vago”. Ela foi transliterada para o latim como zephirum ou zephyrum por volta do ano 1200, mantendo-se seu som mas não seu sentido. Mudanças sucessivas dessas formas, passando inclusive por zeuero, zepiro e cifre, levaram as nossas palavras “cifra” e “zero”. O significado duplo da palavra “cifra” hoje - tanto pode se referir ao símbolo do zero como a qualquer dígito - não ocorria no original hindu.

http://www.somatematica.com.br/historia/zero.php

História das potências

(René Descartes em pintura de Frans Hals)

Já na antiguidade, os babilônios usavam as potências como auxiliares da multiplicação, enquanto os gregos tinham uma especial predileção pelos quadrados e pelos cubos.
No século XVII, o pensador e matemático francês René Descartes (1596-1650) introduziu as notações para potências, notações essas que usamos até hoje.